考研数学每日一题 003：可导、左右导数与连续
题目来源：武忠祥老师公众号每日一题
题目
设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个邻域内有定义，判断下列命题中正确的个数。
- $f’(x_0)$ 存在；
- $f’-(x_0)$、$f’+(x_0)$ 都存在；
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f’(x)$、$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f’(x)$ 都存在；
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f’(x)$ 存在。
以上命题中，能保证 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续的有（ ）个。
- （A）1
- （B）2
- （C）3
- （D）4
答案
判断思路
四个命题都在提供导数信息，但关键要分清：这些信息是否直接约束了点值 $f(x_0)$。
哪些导数信息能保证 x₀ 处连续？
从条件出发，只保留决定对错的关键一步。
点上的差商直接涉及 f(x₀)
可导必连续
左右两侧分别接到点值
左连续加右连续推出连续
补充 / 反例
只控制去心邻域内的斜率
无法约束 f(x₀) 是否接上
补充 / 反例
本质仍是附近斜率的信息
仍然管不到点值 f(x₀)
补充 / 反例
一、可导为什么能推出连续
若 $f’(x_0)$ 存在，则由导数定义，
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f’(x_0).
$$
于是
$$
f(x)-f(x_0)
=(x-x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
$$
当 $x\to x_0$ 时，右侧第一个因子趋于 $0$，第二个因子趋于有限值 $f’(x_0)$，所以
$$
\lim_{x\to x_0}\bigl[f(x)-f(x_0)\bigr]=0.
$$
即
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).
$$
因此，命题 ① 正确。
二、左右导数存在为什么也能推出连续
若左导数存在，则
$$
\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f’_-(x_0).
$$
与上一节同理，可以推出
$$
\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0),
$$
即 $f$ 在 $x_0$ 处左连续。
若右导数存在，同理可得
$$
\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0),
$$
即 $f$ 在 $x_0$ 处右连续。
左右连续同时成立，因此
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).
$$
所以命题 ② 正确。
需要注意，左右导数只要求分别存在，并不要求二者相等。例如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处左右导数分别为 $-1$ 和 $1$，函数不可导，但仍然连续。
三、附近导数的极限为什么不能约束点值
命题 ③ 和命题 ④ 给出的都是 $f’(x)$ 在 $x_0$ 附近的极限信息。这里的 $f’(x)$ 只涉及 $x\ne x_0$ 时函数在附近各点的变化率，并没有直接使用 $f(x_0)$。
构造反例：
$$
f(x)=
\begin{cases}
0, & x\ne x_0,\[4pt]
1, & x=x_0.
\end{cases}
$$
当 $x\ne x_0$ 时，在足够小且不跨过 $x_0$ 的邻域内，$f(x)$ 恒为 $0$，因此
$$
f’(x)=0.
$$
所以
$$
\lim_{x\to x_0^-}f’(x)=0,
\qquad
\lim_{x\to x_0^+}f’(x)=0,
$$
并且
$$
\lim_{x\to x_0}f’(x)=0.
$$
命题 ③、④ 中的导函数极限都存在。但是
$$
\lim_{x\to x_0}f(x)=0\ne1=f(x_0),
$$
所以 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续。
因此，命题 ③、④ 都不能保证连续。
四、最终结论
四个命题的判断结果为：
- ① 正确：可导必连续；
- ② 正确：左右导数分别存在可推出左右连续；
- ③ 错误：附近左右导函数极限不能约束点值；
- ④ 错误：导函数的双侧极限同样不能约束点值。
正确命题共有
$$
\boxed{2}
$$
个，故选
$$
\boxed{\mathrm{B}}.
$$
易错点总结
易错点 1：混淆左右导数与左右导函数极限
左右导数是
$$
f’\pm(x_0)
=\lim{x\to x_0^\pm}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},
$$
其中直接出现了 $f(x_0)$。而左右导函数极限是
$$
\lim_{x\to x_0^\pm}f’(x),
$$
它只考察 $x_0$ 附近各点的导数。两者不是同一个概念。
易错点 2：认为导函数极限存在就能补上点值
即使 $f’(x)$ 在 $x_0$ 附近非常稳定，也可以单独改变 $f(x_0)$，而不影响去心邻域中的导数。导函数极限因此不能自动保证函数在该点连续。
