考研数学每日一题 002：导数为正与局部单调性的关系
题目来源：强化第 265 题
题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的邻域内可导，则
$$
f’(x_0)>0
$$
是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内单调增加的（ ）。
- （A）充分必要条件
- （B）必要条件但非充分条件
- （C）充分条件但非必要条件
- （D）既非必要也非充分条件
答案
判断思路
记：
- 条件 $P$：$f’(x_0)>0$；
- 条件 $Q$：$f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内单调增加。
要判断 $P$ 与 $Q$ 的关系，需要分别考察：
- $P\Rightarrow Q$ 是否成立；
- $Q\Rightarrow P$ 是否成立。
只有两个方向都判断完，才能确定答案。
一、单调增加不能推出导数为正
先考察 $Q\Rightarrow P$：如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加，能否推出 $f’(x_0)>0$？
不能。函数在某邻域内单调增加，只能说明在导数存在的点，导数不能小于零，但导数完全可能等于零。
取反例：
$$
f(x)=x^3,
\qquad x_0=0.
$$
函数 $f(x)=x^3$ 在整个实数范围内都严格单调增加，但
$$
f’(x)=3x^2,
\qquad f’(0)=0.
$$
因此，函数在 $x_0$ 的某邻域内单调增加，不能推出 $f’(x_0)>0$，即
$$
Q\not\Rightarrow P.
$$
所以，$f’(x_0)>0$ 不是必要条件。
二、导数为正不能推出局部单调增加
再考察 $P\Rightarrow Q$：如果 $f’(x_0)>0$，能否推出 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加？
也不能。
这里容易产生一个误区：$f’(x_0)>0$ 是否意味着 $x_0$ 附近都有 $f’(x)>0$？不一定。题目只告诉我们 $f$ 在邻域内可导，并没有告诉我们导函数 $f’(x)$ 连续。因此，即使 $f’(x_0)>0$，导数在任意靠近 $x_0$ 的地方仍可能出现负值。
取 $x_0=0$，定义
$$
f(x)=
\begin{cases}
x+x^2\sin\dfrac{1}{x^2}, & x\ne 0,\[6pt]
0, & x=0.
\end{cases}
$$
先计算 $f’(0)$：
$$
f’(0)=
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}
=\lim_{x\to 0}\left(1+x\sin\frac{1}{x^2}\right)=1>0.
$$
但是当 $x\ne0$ 时，
$$
f’(x)=1+2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}.
$$
令
$$
x_n=\frac{1}{\sqrt{2n\pi}}.
$$
则 $x_n\to0^+$，并且
$$
\sin\frac{1}{x_n^2}=\sin(2n\pi)=0,
\qquad
\cos\frac{1}{x_n^2}=\cos(2n\pi)=1.
$$
因此
$$
f’(x_n)=1-\frac{2}{x_n}<0.
$$
也就是说，在任意靠近 $0$ 的邻域内，都能找到导数为负的点。
如果 $f(x)$ 在某个邻域内单调增加，那么它在该邻域内每个可导点的导数都应满足
$$
f’(x)\ge 0.
$$
现在任意邻域内都有 $f’(x_n)<0$，所以 $f(x)$ 不可能在 $0$ 的任何邻域内单调增加。因此
$$
P\not\Rightarrow Q.
$$
所以，$f’(x_0)>0$ 也不是充分条件。
三、最终结论
两个方向都不成立：
$$
P\not\Rightarrow Q,
\qquad
Q\not\Rightarrow P.
$$
因此，
$$
\boxed{f’(x_0)>0}
$$
是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加的既非必要也非充分条件。
故选
$$
\boxed{\mathrm{D}}.
$$
易错点总结
易错点 1：把一点导数为正理解成附近导数都为正
$$
f’(x_0)>0
$$
只描述 $x_0$ 这一点的导数，不能直接推出
$$
f’(x)>0
$$
在 $x_0$ 附近恒成立。要完成这样的推导，通常还需要导函数在 $x_0$ 处连续。
易错点 2：认为严格单调增加必有导数严格大于零
严格单调增加并不要求每一点的导数都严格大于零。例如 $f(x)=x^3$ 严格单调增加，但 $f’(0)=0$。
因此，“导数大于零”是判定严格单调增加的一个常用充分条件，但通常不是必要条件。
