考研数学每日一题 001：复合极限与可导关系
题目来源：武忠祥老师公众号每日一题
题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，且
$$
\lim_{x\to 0}\varphi(x)=0,
$$
则
$$
\lim_{x\to 0}\frac{f\bigl(\varphi(x)\bigr)-f(0)}{\varphi(x)}
$$
存在，是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）。
- （A）充分必要条件
- （B）必要条件但非充分条件
- （C）充分条件但非必要条件
- （D）既非必要也非充分条件
答案
判断思路
记：
- 条件 $P$：复合差商极限存在；
- 结论 $Q$：$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
要判断 $P$ 是 $Q$ 的什么条件，只需分别考察两个方向：
- $Q\Rightarrow P$ 是否成立；
- $P\Rightarrow Q$ 是否成立。
一、可导能够推出该极限存在
若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则由导数定义，
$$
\lim_{t\to 0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=f’(0).
$$
又因为
$$
\varphi(x)\to 0\qquad (x\to 0),
$$
由复合函数极限法则，在差商有定义的点上有
$$\lim_{x\to 0}\frac{f\bigl(\varphi(x)\bigr)-f(0)}{\varphi(x)}=\lim_{t\to 0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=f^{\prime}(0).$$
因此，
$$
f\text{ 在 }0\text{ 处可导}
\quad\Longrightarrow\quad
\lim_{x\to 0}\frac{f\bigl(\varphi(x)\bigr)-f(0)}{\varphi(x)}\text{ 存在}.
$$
也就是说，题目中的极限存在是 $f$ 在 $0$ 处可导的必要条件。
二、该极限存在不能推出可导
反过来，只知道复合差商极限存在，并不能保证
$$
\lim_{t\to 0}\frac{f(t)-f(0)}{t}
$$
存在。原因是 $t=\varphi(x)$ 未必能取遍 $0$ 附近的所有值，题目中的极限可能只考察了其中一部分趋近方式。
反例
取
$$
f(t)=|t|,\qquad \varphi(x)=x^2.
$$
显然，
$$
\varphi(x)=x^2\to0\qquad (x\to0).
$$
当 $x\ne0$ 时，
$$\frac{f\bigl(\varphi(x)\bigr)-f(0)}{\varphi(x)}=\frac{|x^2|-0}{x^2}=1.$$
所以复合差商极限存在且等于 $1$：
$$
\lim_{x\to0}\frac{f\bigl(\varphi(x)\bigr)-f(0)}{\varphi(x)}=1.
$$
但是
$$
\lim_{t\to0^+}\frac{|t|}{t}=1,
\qquad
\lim_{t\to0^-}\frac{|t|}{t}=-1.
$$
左右极限不相等，因此 $f(t)=|t|$ 在 $t=0$ 处不可导。于是
$$
P\nRightarrow Q.
$$
所以题目中的极限存在并不是可导的充分条件。
三、反向推理为什么不成立
从导数极限存在出发，可以把考察范围限制到 $t=\varphi(x)$ 所取得的值上，因此能够推出复合极限存在。
反过来，复合极限只反映 $\varphi(x)$ 的值域覆盖到的趋近方式。若这些值没有覆盖 $0$ 附近的全部趋近方式，就无法恢复原来的导数极限。
在上面的反例中，
$$
t=\varphi(x)=x^2\ge0,
$$
所以复合极限只检验了 $t\to0^+$，完全没有检验 $t\to0^-$。这正是信息不足之处。
最终结论
$$
f\text{ 在 }0\text{ 处可导}
\quad\Longrightarrow\quad
\lim_{x\to0}\frac{f\bigl(\varphi(x)\bigr)-f(0)}{\varphi(x)}\text{ 存在},
$$
但反向不成立。因此，该极限存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$$
\boxed{\text{必要条件但非充分条件}}.
$$
故选
$$
\boxed{\mathrm{B}}.
$$
